SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
HÀ TĨNH

KỲ THI CHỌN ĐỘI TUYỂN ĐỘI TUYỂN DỰ THI
HỌC SINH GIỎI QUỐC GIA NĂM HỌC 2025 – 2026
HƯỚNG DẪN CHẤM MÔN TOÁN
Ngày thi thứ hai: 11/09/2025

Chú ý : - Mọi cách giải đúng, ngắn gọn đều cho điểm tương ứng.
- Điểm toàn bài không qui tròn.
- Hội đồng chấm có thể thống nhất để chia các ý có điểm lớn hơn 0.25 thành các ý
0.25 điểm (nếu thấy cần thiết).
CÂU

NỘI DUNG

ĐIỂM

1,0

Câu
4a
2,5 đ

Biến đổi góc ta có

.

Ta có

1,5

.

Câu
4b
3,5 đ

Ta có
.
Do đó gọi

suy ra tứ giác
là trung điểm của

thì

nội tiếp đường tròn đường kính
nằm trên trung trực của đoạn thẳng

Mặt khác
Vì vậy

.
nằm trên trung trực đoạn thẳng

. Ta có đpcm.
1

.

1,5

2,0

Câu
5a
2,5 đ

Bình có chiến thuật thắng bằng cách chia bảng đã cho thành các bảng con
và
thực hiện chiến thuật trên từng bảng con đó. Ban đầu khi An đánh dấu một ô trên
bảng
thì Bình sẽ phủ domino ở hai ô kề nhau bất kỳ còn lại trong ba ô chưa bị
đánh dấu. Sau đó, nếu An đánh dấu ô còn lại của bảng thì hai ô bị đánh dấu phải kề
nhau, Bình chỉ cần phủ domino ở hai ô được đánh dấu ấy.
An có chiến lược thắng bằng cách tô đen, trắng xen kẽ bảng đã cho, và nếu Bình phủ
domino hai ô đen, trắng nào đó, An sẽ đánh dấu ô đối xứng với ô màu trắng được
phủ qua tâm của bảng (chú ý đối xứng của ô
qua tâm của bảng là ô

Câu
5b
4,5 đ

2,5

2,5

). Rõ ràng ô được An đánh dấu cũng có màu trắng.
Thế thì nếu An không thực hiện được ở bước nào đó, thì hoặc ô này được đánh dấu
trước đó (vô lí vì trước đó Bình cũng phải phủ một domino chứa ô màu trắng đối
xứng với ô này), hoặc ô này bị phủ bởi domino trước đó (vô lí vì khi đó quân
domino của Bình phủ một ô màu trắng đã bị đánh dấu, còn ô màu đen không bị đánh
dấu do An không bao giờ đánh dấu ô đen).

2,0

Ta có công thức
Câu
6a
2,5 đ

, nếu
tố và
nguyên dương.
Khi đó phương trình

, trong đó

có nghiệm

Vì có vô số các số nguyên tố nên phương trình
Giả sử ta có khai triển ra thừa số nguyên tố của
Với
là các ước nguyên tố của
Khi đó ta có
.
Ta cũng có
Điều kiện cần. Giả sử
mãn hệ thức:

là số nguyên tố bất kì.
có vô số nghiệm.

1,0

1,5

như sau
; là số nguyên dương.

nên
.
là số nguyên dương và tồn tại số nguyên dương thỏa
.

Khi đó ta có
Câu
6b
4.5 đ

với

là các số nguyên

1,0

.

Vì
là số lẻ với mọi
nên suy ra phải là số lẻ.
Ta chứng minh lẻ là tất cả số nguyên dương thỏa mãn.
Điều kiện đủ. Giả sử là số nguyên dương lẻ. Ta chứng minh tồn tại số nguyên
dương sao cho
. Ta chứng minh bằng quy nạp.
- Với
. Chọn
. Vậy khẳng định đúng với
.
- Giả sử khẳng định đúng với các số lẻ cho đến , ta chứng minh rằng khẳng định
cũng đúng với mọi
, với
(1).
Khi đó ta có thể chỉ ra khẳng định đúng với
vì
với
và là số lẻ nhỏ hơn
nên
.
Nên khẳng định đúng với số lẻ tiếp theo
. Vậy phép quy nạp hoàn tất.
Bây giờ ta chứng minh (1) như sau: Giả sử tồn tại số nguyên dương sao cho
hay
.
2

1,0

Ta xét các trường hợp sau:
+)
. Giả sử là số nguyên tố và
Khi đó ta có khai triển

. Xét số

.

.

Thì ta có
và

1,0

.

Nên suy ra
Nên (1) đúng với

.
.

+)
, ta xét số
. Chọn số nguyên tố phân biệt
(điều này luôn thực hiện được vì có vô hạn số nguyên tố).
Xét số

mà

.
Khi đó ta có
và
.

1,5

Từ đó suy ra:

Nên (1) đúng với
bất kì.
Vậy theo quy nạp, ta có đpcm.

3